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求解一道不定积分1/x^4(1+x^2)Dx

=∫½[1+cos(2x)]dx =∫½dx+∫½cos(2x)dx =∫½dx+¼∫cos(2x)d(2x) =½x+¼sin(2x) +C 解题思路: 先运用二倍角公式进行化简。 cos(2x)=2cos²x-1 则cos²x=½[1+cos(2x)]

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∫[1/(1+x^4)]dx = 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/(1+x^4)dx = 1/2 {∫(x^2+1)/(1+x^4) dx - ∫(x^2-1)/(1+x^4)dx } = 1/2 {∫(1+1/x^2)dx /(x^2+1/x^2) - ∫(1-1/x^2)dx/(x^2+1/x^2)} = 1/2 {∫d(x-1/x) /[(x-1/x)^2+2] - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -...

这样换换元后,无理函数的积分就转化为有理函数的积分。

设x=tanθ,则dⅹ=sec²θdθ. 同时,sinθ=ⅹ/√(1+x²). ∴∫[1/√(1+x²)]dx =∫(1/secθ)sec²θdθ =∫secθdθ =∫(1/cos²θ)d(sinθ) =1/2∫[1/(1+sinθ)+1/(1-sinθ)]d(sinθ) =1/2㏑(1+sinθ)-1/2㏑(1-sin)+C =1/2㏑[(1+sinθ)/(1-sinθ)]+C ...

考虑t=x+(1/x) 之后分母只留根号 其余部分变到分子上 分子构造x+(1/x)的导数 然后将此积分变成两个积分的和 其中一部分由于分子是x+(1/x)的导数 换元之后便化为可以通过三角换元做出的积分 另一部分把分子变成x, 然后分子构造x^2的导数 ...

分子分母同时除以x^2后凑微分。

∫(x^4+1)/(x^2+1)dx =∫ [(x^2-1)+ 2/(x^2+1) ] dx = x^3/3 - x + 2arctanx + C

∫dx/(x^4+1)=∫dx/[(x^2+1)^2-2x^2] =∫dx/[(x^2+1-√2x)(x^2+1+√2x)] =∫(1/2√2x)[ (x^2+1+√2x)-(x^2+1-√2x)]dx/[(x^2+1+√2x)(x^2+1-√2x)] =∫(1/(2√2x))dx/(x^2+1-√2x) - ∫(1/(2√2x))dx/(x^2+1+√2x) =(1/(2√2))[∫(1/2)d(x^2+1-√2x)/(x^2+1-√2x) +∫(...

∫[1/(4-x²)]dx =¼∫[1/(x+2) -1/(x-2)]dx =¼[ln|x+2|-ln|x-2|] +C =¼ln|(x+2)/(x-2)| +C

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