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求解一道不定积分1/x^4(1+x^2)Dx

=∫½[1+cos(2x)]dx =∫½dx+∫½cos(2x)dx =∫½dx+¼∫cos(2x)d(2x) =½x+¼sin(2x) +C 解题思路: 先运用二倍角公式进行化简。 cos(2x)=2cos²x-1 则cos²x=½[1+cos(2x)]

如图所示:

∫[1/(1+x^4)]dx = 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/(1+x^4)dx = 1/2 {∫(x^2+1)/(1+x^4) dx - ∫(x^2-1)/(1+x^4)dx } = 1/2 {∫(1+1/x^2)dx /(x^2+1/x^2) - ∫(1-1/x^2)dx/(x^2+1/x^2)} = 1/2 {∫d(x-1/x) /[(x-1/x)^2+2] - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -...

这样换换元后,无理函数的积分就转化为有理函数的积分。

考虑t=x+(1/x) 之后分母只留根号 其余部分变到分子上 分子构造x+(1/x)的导数 然后将此积分变成两个积分的和 其中一部分由于分子是x+(1/x)的导数 换元之后便化为可以通过三角换元做出的积分 另一部分把分子变成x, 然后分子构造x^2的导数 ...

这道题的计算很繁琐,基本思想是利用待定系数法作有理分式的分解 (1+x^2)/(2+x^4) =(1+x^2)/[(x^2-2^(3/4)*x+√2)(x^2+2^(3/4)*x+√2)] =(Ax+B)/(x^2-2^(3/4)*x+√2)+(Cx+D)/(x^2+2^(3/4)*x+√2) 其中A,B,C,D是待定系数 解四元一次方程组,得出A,B,C...

∫x^2/(1-x^4)dx =∫x^2/[(1-x^2)(1+x^2)]dx =1/2·∫1/(1-x^2)dx-1/2·∫1/(1+x^2)dx =1/4·∫1/(1-x)dx+1/4·∫1/(1+x)dx-1/2·∫1/(1+x^2)dx = -1/4·ln|1-x|+1/4·ln|1+x|-1/2·arctanx+C

## 凑微分

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