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求解一道不定积分1/x^4(1+x^2)Dx

先因式分解

∫1/√(4-x^2) dx =1/2 *∫1/√[1-(x/2)^2] dx =∫1/√[1-(x/2)^2] d(x/2) 那么由基本积分公式 ∫1/√(1-a^2) da=arcsina +C 可以得到 ∫1/√(4-x^2) dx =∫1/√[1-(x/2)^2] d(x/2) =arcsin(x/2) +C,C为常数

思路应该是:提出(x-1)(x+1)之后,对其余部分的替换。 具体过程如下:被积函数 ³√(x+1)²(x-1)(x-1)³ =(x-1) ³√(x+1)²(x-1) =(x-1) ³√(x+1)³(x-1)/(x+1) =(x-1)(x+1) ³√(x-1)/(x+1)

套公式即可 积分=X^3/3-1/3/x^3+X+C

考虑t=x+(1/x) 之后分母只留根号 其余部分变到分子上 分子构造x+(1/x)的导数 然后将此积分变成两个积分的和 其中一部分由于分子是x+(1/x)的导数 换元之后便化为可以通过三角换元做出的积分 另一部分把分子变成x, 然后分子构造x^2的导数 ...

拆分因式后积分

如图

被积函数分子分母除以x²有 ∫(x^2+1)/(x^4+1)dx = ∫(1+1/x²)/(x²+1/x²)dx 令u=x-1/x , 则 du = (1+1/x²)dx 且 u² = x²+1/x² -2 则原式= ∫ du/(u²+2) =1/根号2 * arctan (u/根号2) 再u=x-1/x代进去

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